Teknik Lingkungan: KALKULUS II

INTEGRAL

Bahasan utama untuk bagian ini adalah: Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah $\int \,$ , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat ditulis:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$
Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.^[1]

Apabila

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi $f(x) = x^2$ , maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk $\int_a^b f(x) dx$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : $\int f(x) dx$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

Teorema dasar

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.^[1]
Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).$
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

$F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).$

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral $\int_a^b x\, dx$ , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.
Anti derivatif dari fungsi $f(x)= x\,$ adalah $F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C$ . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu $\int_a^b x \,dx$ adalah:

$\begin{align} \int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\ \end{align}$

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

$\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2}$

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

Teknik Lingkungan

Senin, 10 Maret 2014

KALKULUS II

INTEGRAL

Integral tertentu

Integral tak tentu

Teorema dasar

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog

Translate